《多少本来》-取圆有关的立体多少（1）
前面我用7篇文章先容了《多少本来》第1卷、第2卷的全部内容，从本篇开始，我将向家人们解说《多少本来》第3卷“与圆有关的平面多少”中的内容。
第3卷共包罗11条界说以及37个命题，这些命题我们在初中数学课本中都学过。唯一的区别在于，初中数学课本中，都是将这些命题作为结论直接利用，但是没有给出证明历程。
本篇，我们进修第3卷中的11条界说以及6个命题。
一、界说
界说1：相称的圆，其直径相称，或圆殷勤圆心的间隔相称（即半径相称）。
界说2：一条直线与圆相切，便是它与圆相遇，而这条直线延伸后不再与圆相交。
界说3：两圆相切，便是相互相遇，而不相交。
界说4：过圆心作圆内弦的垂线，垂线相称，则称这些弦有相称的弦心距。
界说5：当垂线较永劫，称这弦有较大的弦心距。
界说6：弓形是由一条弦和一段弧构成的。
界说7：弓形的角是由一条直线和一段圆弧所夹的角。
界说8：弓形的角是毗连弧上恣意一点和这段圆弧的底的两头的两条直线所夹的角。
界说9：弓形角也叫作含于这段弧上的弓形角。
界说10：由极点在圆心的角的双方和这双方所截的一段圆弧配合围成的图形叫作扇形。
界说11：相似弓形是那些含相称角的弓形，大概他们上的角是相互相称的。
二、命题1-命题6。
命题1：求出已知圆的圆心。
已知圆ABC。
目的：只能利用直尺和圆规，作出圆ABC的圆心。
证明：
1、在圆上作恣意直线AB。
2、作AB的二平分点D。（第1卷 命题9）
3、过点D作AB的垂线与圆相交于C、E。
4、作CE的二平分点F。（第1卷 命题9）
阐发：这时点F大概是圆心，假如点F不是圆心，那么圆心肯定不在线段CE上。
5、假设点F不是圆心，圆心为点G,点G为线段CE以外恣意一点。
6、毗连GA、GD、GB。
7、于是GA=GB，GD=GD，AD=DB，是以角GDA=角GDB。（第1卷 命题8）
8、于是角GDB是直角。（第1卷 界说10）
9、又角FDB是直角，于是角FDB=角GDB，即较大角即是较小角，这是不行能的。
10、于是假设不可立，是以圆心在CE上，又圆心到圆上各点间隔相称，是以点F为圆心。
证明完毕。
阐明：这个命题欧几里得再次利用了假想法，当命题欠好直接证明时，假想法便是一个很好的证明方法。在《多少本来》中，许多命题的证明都用到了假想法。假想法的思绪是，先假设与命题相反的结论，然后推导出抵牾的结论，从而假设不可立，原命题建立。
这里再多说一句，激发第一次数学危急的无理数，它的发觉历程也是利用了假想法。
命题2：毗连圆上恣意两点，则毗连这两点的直线上的其他点均在圆上。
已知圆ABC以及圆上恣意两点A、B，毗连AB。
目的：证明线段AB在圆内。
证明：
1、假设线段AB在圆外，E为线段AB上一点，如图所示。
2、设圆ABC的圆心为D。（第3卷 命题1）
3、毗连DA、DB、DE，DE与圆ABC相交于点F。
4、由于DA=DB，以是角DAE=角DBE。（第1卷 命题5）
5、在三角形DAE中，线段AEB是线段AE的延伸线，以是角DEB>角DAE。（第1卷 命题16）
6、于是角DEB>角DBE，又在三角形DEB中，大角对大边，以是DB>DE。（第1卷 命题19）
7、又由于F是圆上一点，以是DF=DB，于是DF>DE，即较小边大于较大边，这是不行能的。
8、以是假设不可立，线段AB不落在圆外。
9、同理，可证明线段AB也不落在圆周上，是以它落在圆内。
证明完毕。
阐明：本命题利用了假想法举行证明。
这里再多说一句，命题1为什么非要找到圆的圆心？我无法正确画出来圆心实在也没关系碍命题2的证明，为什么要节外生枝呢？实在这和欧几里得寻求严谨有关，欧几里得的原则是，我只有可以或许画出来这个图形，我才气去证明它，这也是我们在《多少本来》中可以或许看到较多求证作图的命题的缘故原由。好比第1卷中的命题47证明白勾股定理，证明历程必要用到图形正方形，于是欧几里得在命题46中证明白可以或许依据已知线段作出一个正方形出来。
命题3：在一个圆中，过圆心的直线二平分一条不外圆心的直线，那么这两条直线相互垂直；假如过圆心的直线垂直于不外圆心的直线，那么前者二平分后者。
已知圆ABC，直线CD过圆心且二平分不外圆心的直线AB于点F。
目的：证明CD垂直于AB。
证明：
1、作圆ABC的圆心，设圆心为E。（第3卷 命题1）
2、毗连EA、EB。
3、由于EA=EB，EF=EF，FA=FB，以是角AFE=角BFE。（第1卷 命题8）
4、以是角AFE=角BFE=直角。（第1卷 界说10）
5、以是CD垂直于AB。
接下来假设AB垂直于CD于点F。
目的：证明CD二平分AB，即AF=FB。
6、由于EA=EB，以是角EAF=角EBF。（第1卷 命题5）
7、又直角AFE=直角BFE，EF=EF，以是AF=FB。（第1卷 命题26）
证明完毕。
命题4：在一个圆中，假如两条不外圆心的直线相交，则它们不相互中分。
已知圆ABCD，此中有两条不外圆心的直线AC和BD相交于点E。
目的：AC、BD不相互中分。
证明：
1、假设AC、BD相互中分，即AE=EC，BE=ED。
2、作圆ABCD的圆心F，毗连FE。（第3卷 命题1）
3、由于过圆心的直线FE二平分另一条没过圆心的直线AC，则它们相互垂直，以是角FEA是直角。（第3卷 命题3）
4、同理，角FBE是直角。
5、于是角FEA=角FBE，即较小角即是较大角，这是不行能的。
6、是以假设不可立，即AC、BD不相互中分。
证明完毕。
阐明：本命题利用了假想法举行证明。
命题5：两圆相交，圆心差别。
已知圆ABC和CDG相交，交点是B、C。
目的：证明圆ABC、CDG圆心差别。
证明：
1、假设两圆圆心雷同，设点E为大众圆心。
2、假设EFG是穿过两圆的恣意直线，毗连EC。
3、于是EC=EF，EC=EG，以是EF=EG，即小的即是大的，这是不行能的。
4、以是假设不可立，是以点E不是圆ABC和圆CDG的配合圆心。
证明完毕。
阐明：本命题利用了假想法举行证明。
命题6：两圆相切，圆心差别。
已知圆ABC、CDE相切，切点为C。
目的：证明圆ABC、CDE圆心差别。
证明：
1、假设两圆圆心雷同，设点F为大众圆心。
2、假设FEB是穿过两圆的恣意直线，毗连FC。
3、由于F是大众圆心，于是FC=FE，FC=FB，以是FE=FB，即小的即是大的，这是不行能的。
4、是以假设不可立，以是点F不是圆ABC、CDE的圆心。
证明完毕。
阐明：本命题利用了假想法举行证明。
好了，这一讲就到这了。
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